Goycochea llegó a la selección Argentina gracias a la lesión que se produjo el hasta entonces titular, el campeón del mundo Nery Pumpido. Tuvo, desde el anonimato, un crecimiento fulgurante y se convirtió en una de las figuras del campeonato mundial de Italia 1990.

Sus espectaculares atajadas en las definiciones de penales, lo convirtieron en un mito del arco argentino. Esto, junto con su elasticidad y su gran velocidad, lo hacían muy efectivo en el mano a mano.

Tras recibir cinco goles de la selección Colombia en Buenos Aires en la eliminatoria de Estados Unidos 1994, su imagen decayó olvidando el nivel que lo llevo a ser uno de los mejores metas del mundo.